2012数学北师大版必修1精品学案4.1.2《利用二分法求方程的**狻

发布于:2021-10-29 04:10:09

“利用二分法求方程的**狻毖О干杓埔焕
随着新一轮数学课程改革不断深入,“学案”学*已 成为新课程理念下一种新型学 *模式,通过创建“学案”,改变学生的学*方式,使学生更加主动地学,是培养学生自学 能力,提高教学效益一个新的举措.笔者为结合学案的特点,设计了“北师大版必修 1 第三章 1.2 利用二分法求方程的**狻闭庖豢问钡难О福憎隙琳撸笸械呐 指正.
1 教材分析 函数的应用是学*函数的一个重要方面,本章通过学*用二分法求方程**獾姆椒ǎ 使学生体会函数与方程之间的关系,通过一些函数模型的实例,感受建立函数模型的过程和 方法,体会函数在数学和其他学科中的广泛应用,进一步认识到函数是描述客观世界变化规 律的基本数学模型.而本 节 课 是 从 学 生 已 有 的 基 础 (一 元 二 次 方 程 及 其 根 的 求 法 , 一 元 二 次 函 数 及 其 图 象 与 性 质 )出 发 ,从 具 体 (一 元 二 次 方 程 的 根 与 对 应 的 一 元 二 次 函 数 的 图 象
与 x 轴的交点的横坐标之间的关系)到一般,揭示方程的根与对应函数零点之间的关
系.在此基础上,再介绍求函数零点的*似值的“二分法”,并在总结“用二 分法求函 数零点的步骤”中渗透算法的思想,为学生后续学*算法内容埋下伏笔.
2 学情分析 通过本节课的学*,使学生在知识上学会用“二分法”求方程的**猓又刑寤 函 数 与 方 程 之 间 的 联 系 ;在 求 解 的 过 程 中 ,由 于 数 值 计 算 较 为 复 杂 ,因 此 对 获 得 给 定 精 确 度 的 * 似 解 增 加 了 困 难 ,所 以 希 望 学 生 具 备 恰 当 地 使 用 信 息 技 术 工 具 解 决 这 一 问 题 的 能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外,还要能借助几何画板 4.06 中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象,掌握 Microsoft Excel 软件 一些基本的操作. 3 学*目标 3.1 知识与技能
通过学*,能说出二分法的概念,会运用二分法求简单方程**獾姆椒ǎ崤 断连续函数在某个闭区间上是否存在零点.
3.2 过程与方法
通 过 具 体 实 例 的 讨 论 与 探 究 ,在 对 函 数 与 方 程 的 关 系 的 认 识 中 能 遵 循 由 浅 入 深 、循 序 渐 进 的 原 则 ,归 纳 概 括 出 所 发 现 的 结 论 或 规 律 ,初 步 接 触 算 法 思 想 ,体 会 从 具 体 到 一 般的认知过程.
3.3 情感态度与价值观
体会数学*蹋惺芫酚*似的相对统一,在自我解决问题的过程中,体验成功 的喜悦.
4 学*重点与难点 学*重点:用二分法求相应方程的**獾姆椒ㄓ刖咛宀街瑁 学*难点:恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的**猓

5 学*方法 为更好地把握学*内容,在学*中应以动手操作、分组讨论、合作交流、总结反思、课 后实践相结合. 6 学*过程 6.1 学*活动 活动 1 幸运 52 曾经现场直播,进行一个猜数字游戏:给定 1~100 这 100 个自然数,计 算机随机出一个 1~100 之间的整数,通过操作键盘让同学们去猜这个数,对于大家每次猜测 的结果,计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”. 讨论: (1)任给一个 1~100 的整数,我都可以在 7 次以内猜出,你们能做到吗? (2)为什么采用正确的方法,7 次以内一定可以猜中? (第一次猜 50,若“大了”,则猜 1 与 50 中间的整数 25,依次类推,由于每猜一次,就 排除一半,范围不断缩小,7 次以内一定可以猜中) (3)这种猜测的思想是什么? 设计意图:上述游戏,每次都将所给区间一分为二,进行比较后得到新的区间,再一分为 二,如此下去,使得所猜数字逐步*扑慊氖郑庵炙枷刖褪嵌址ǎü鲇 戏,来提高学生的学*热情,让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想和作用,并进行有 意义学*.
活动 2 根据课本 P117 例 4 求方程 2x3 ? 3x ? 4 ? 0 的一个实数解,精确到 0.01.
探究:
(1)求函数 f (x) 的零点*似值第一步应做什么?
(2)为了缩小零点所在区间的范围,接下来应做什么? (3)精确到 0.01,算几次就可以了?若精确到 0.001 呢? 设计意图:此活动在于通过讨论,让学生知道用二分法求方程**獾木咛骞毯徒馓 步骤,以及用二分法求*似值的过程到何时结束.
活动 3 课本 P119 页练*:用二分法求方程 0.9 x ? 2 x ? 0 的**猓返 0.1. 21
探究: (1)与活动 2 进行比较,过程有什么不同? (2)根据这些活动,二分法求方程**獾木咛宀街枋鞘裁矗
设计意图:活动 1 中的方程 2x3 ? 3x ? 4 ? 0 虽然没有给出初始区间,但是根据方程的形
式容易知道为 (??,??) ,而活动 3 中的方程 0.9x ? 2 x ? 0 的初始区间未给定,却需要自己 21
找,这是一个质的变化.通过自主探究,讨论,来体会、归纳确定出初始区间的一般方法:
估算或利用图象(估算:由方程有意义及移项左右两边相等,可知 x0 ? 0 ;或作图:考察函



y

?

0.9 x 与

y

?

2 21

x

图象交点的横坐标,可知

x0

?

0 ),以及得出利用二分法求方程*似

解的具体步骤.

活动 4 利用计算器,求方程 x ? lg x ? 3的**猓ň返 0.1).

(注:可以 2 人为一组,互相配合,一人按计算器,一人记录过程) 不同组之间探讨交流,从中能得出什么样的结论? 设计意图:(1)通过学生合作探究,进一步来体会、归纳确定出初始区间的一般方法.

(估算:由方程有意义及左右两边相等,可知 x0 ? (0,3) ;作图:考察函数 y ? lg x 与

y ? 3 ? x 图象交点的横坐标,可知 x0 ? (2,3) )
(2)由于计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以借助计算器来完成计算, 计算器来完成.同进,通过共同学*交流探讨,感知初始区间选择的不同对结果无影响,只 是计算次数多少而已.
活动 5 如图,一条电缆上有 15 个接点 ,现某一接点发 生故障 ,如何尽快找到故障接点?
设计意图:让学生在活动中体会二分法在实际生活中的用 处.
6.2 自我诊断 例 1 下列函数均有零点,其中不能用二分法求**獾氖牵 )

A.

B.

C.

D.

设计意图:使学生明确初始区间 (a, b) 并非任意选取,必须满足 f (a) f (b) ? 0 ,加深学

生对利用二分法求方程**庠淼睦斫猓鸢福篊.

例 2 用二分法求方程 3x ? 3x ?8 ? 0在x ??1,3?内**獾墓讨腥∏渲械 x0 ? 2 ,
那么下一个有根区间为 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(1,2)或(2,3)都可以 D.不能确定 设计意图:使学生明确利用二分法求方程**馊⌒虑浞椒ǎ桓龆说闶窃涞闹
点,另一个是原区间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号.答案:A.
例 3 方程 (1) x ? ln x ? 0 的根的个数为( ) 2

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 设计意图:使学生进一步明确通过函数图象与性质来分析零点的方法.答案:B.

例 4 下表是用计算器或计算机作出函数 f(x)? ln x ? 2x ? 6 的图象和对应值,则从下表

可以看出方程 ln x ? 2x ? 6 ? 0 的一个正的**馐

(精确到 0.01)

次数 左端点 左端点函数值

右端点

右端点函数值

第 1 次 2.00000 -1.30685

3.00000

1.09861

第 2 次 2.50000 -0.08371

3.00000

1.09861

第 3 次 2.50000 -0.08371

2.75000

0.51160

第 4 次 2.50000 -0.08371

2.62500

0.21508

第 5 次 2.50000

-0.08371

2.56250

0.06598

第 6 次 2.53125 -0.00879

2.56250

0.06598

第 7 次 2.53125 -0.00879

2.54688

0.02862

第 8 次 2.53125 -0.00879

2.53906

0.00992

设计意图:使学生进一步巩固利用二分法求方程**獾木咛宀街瑁岣哐亩晾斫

能力.

答案:2.53.

例 5 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是

一条 10 km 长的线路,大约有 200 多根电线杆子.如果沿着线路一小段一小段查找,困难很

多,每查一个点要爬一次电线杆子.请你帮工作人员设计一个维修方案来迅速查出故障所在.

设计意图:让学生感悟二分法在实际中的应用,同时体会到学*数学成功的喜悦.

答案:如图,设闸门和指挥部的所在处为点 A,B,

(1)首先从中点 C 查;

(2)用随身带的话机向两端测试时,发现 AC 段正常,断定

故障在 BC 段;

(3)再到 BC 段中点 D;

(4)这次发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段;

(5)再到 CD 中点 E 来看;

(6)这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半.

6、请感兴趣的同学思考:当 0 ? a ? 1时,方程 a x ? log a x 的解只有一个吗?

设计意图:让学有余力的学生更能发挥其个性品质,提高学科素养.

6.3 总结提炼

(1)二分法的基本思想是



(2)初始区间的选定的方法有



(3)利用二分法求方程的**獾木弑静街枋牵



(4)把学案中有疑惑的知识点作上记号,并在空白处写出疑惑原因.

设计意图:引导学生回顾学*过程,进行总结和反思,并提出自己还存在的疑问,以便

在教师或同学的帮助下得到解决.

6.4 阅读拓展 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座.虽 然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月.
由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 y ? f (x) 的零点(即 f (x) ? 0 的根),
对于 f (x) 为一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时,称为求根公式).我国
古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题,在《九章算术》、北宋数学家贾 宪的《黄帝九章算法细草》、南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世 纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程 的根式解,但经过长期的努力仍无结果.1824 年,挪威年轻数学家阿贝尔(N. H. Abel, 1802-1829)成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828 年,法国天才数学家伽罗瓦 (E.Galois,1811-1832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程.人们 认识到高于四次的代数方程不存在求根公式,因此对于高次多项式函数及其他的一些函数, 有必要寻求其零点的**獾姆椒ǎ馐且桓鲈诩扑闶е惺种匾目翁猓
设计意图:介绍中外历史上的方程求解问题,让学生感受到数学文化方面的熏陶,最大 限度地调动学生的学*兴趣,激发学生的求知欲,提高学*的积极性和主动性.同时,从高 次代数方程解的探索历程使学生认识引入二分法的意义.
7 案例反思 7.1倡导新课程理念,进行有效设计 《数学课程标准(试验稿)》明确指出:由于不同的学生所处的社会环境不尽相同,所
具备的数学知识背景与数学活动经验也各异,所以,教科书的定位应当是“学生数学学*的 重要线索”,它并不能满足所有学生数学学*活动的需要.本学案设计,以倡导新课程理念: 自主探索、动手实践、合作交流的学*方式为出发点,根据自己学生的社会环境特征、思维 活动水*和数学学*条件去创造最适合自己学生的数学学*活动,在知识的形成过程中突出 数学思维活动的学*,引导学生充分经历知识的建构过程.在设计实践中,更多地关注学生 的学,坚持实现数学学*的“有效”和“高效”,并使数学学*实现从“有效学*”、“高效学 *”到“魅力学*”的飞越.
(1)为充分调动学生的积极性与主动性,提高学*兴趣,以猜数字游戏为情景,在玩的 过程中来体验二分法的这一算法思想,突出了学*的主题,进行了有效情景的设计.
(2)为让学生顺利地进行有效学*,以问拓思,因问造势,学案设计了 4 个活动,一 环扣一环,让学生身临其境,合作交流,共同探究,帮助学生发现规律,解决问题,同时让 学 生 学 会 独 立 地 将 课 本 上 的 知 识 进 行 分 析 综 合 , 整 理 归 纳 ,自我诊断,通 过 解 题 巩 固 知 识 ,最终形 成 了 一 个 完 整 的 科 学 体 系 ,达到学*目的,突出理性思维,优 化 学 生 的 认 知 结 构,培养创新能力.
(3)为符合社会的需要,让学生认识到数学与我有关,我要学数学、用数学,密切联系 实际生活,在生活情景学*数学,充分挖掘课本知识的生活背景,设计实际应用问题.
(4)为开 阔 学 生 视 野 ,感 悟 文 化 ,激 发 兴 趣 ,使个 性 品 质 得 到 培 养 ,有 意 义 地 进 行 学 * , 注 重 选 取 可 读 性 强 的 阅 读 材 料 — — 介绍中外历史上的方程求解问题.

7.2 对学案的挖掘 “学案”是建立在教案基础上针对学生学*而开发的一种学*方案,其实质上是 教 师 用 以 帮 助 学 生 掌 握 教 材 内 容 ,沟 通 教 与 学 的 桥 梁 ,也 是 培 养 学 生 自 主 学 * 和 建 构 知 识 能 力 的 一 种 重 要 媒 介 ,具 有“ 导 读 ,导 听 ,导 思 ,导 做 ”的 作 用 ,但 它 没 有 固 定 的 模 式,具有较大的弹性和适应性.因此,教师在思想上要从“教案”转变到“学案”,根 据 实 际 情 况 ,把 教 师 的 教 学 目 标 转 化 为 学 生 学 * 的 目 标 ,把 学 * 目 标 设 计 成 学 * 方 案 交 给 学 生 .根 据 学 生 现 有 知 识 ,自 学 能 力 水 * 和 教 学 要 求 ,参 照 各 方 面 信 息 ,制 定 出 一 整 套学生自学的“学案”,来实现个性发展与全面发展的统一. 参考文献: 1 严士健,王尚志主编.普通高中课程标准实验教科·数学 1(必修)[M].北京:北京师 范大学出版社,2008 普通高中数学课程标准(实验) 2 章建跃.有效改进课堂教学——暨第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动综 述[J].数学通报,2008,12 3 张劲松,郭豫.高中数学课程中的二分法——对“用二分法求方程的**狻币惶每蔚乃 考[J].中学数学教学参考,2008,4 4 王培.教学反思——新型教师成长的必由之路[J].中学数学教学,2008,3


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