宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试卷附答案解析

发布于:2021-12-09 01:09:57

宁夏六盘山高级中学 2019 届高三年级第二次模拟 理科数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知 A. 【答案】D 【解析】 试题分析:因为 与 互为共轭复数, 是虚数单位,若 B. 与 互为共轭复数,则 C. ( ) D.

考点:共轭复数,复数的运算 【此处有视频,请去附件查看】

2.已知全集 A. 【答案】C 【解析】 【分析】

, B.



,则集合 C.

( ) D.

根据集合并集运算,先求得 【详解】因为 所以 则 所以选 C ,

,再根据补集定义求得

即可。

【点睛】本题考查了集合并集、补集的运算,属于基础题。 3.等差数列 A. 中, B. , ,则数列 的公差为 C. ( ) D.

【答案】B 【解析】 试题分析:由题已知 考点:等差数列的性质。 4.如图为一个圆柱中挖去两个相同的圆锥而形成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) ,则由等差数列可得; 。

A. 【答案】C 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

根据三视图,还原空间结构体可知是圆柱中挖除了 2 个圆锥,根据数据可求得圆柱体积与两个圆锥的体积, 即可求得该几何体的体积。 【详解】根据三视图,可知原空间结构体为圆柱中挖除了 2 个圆锥 圆柱的体积为 两个圆锥的体积为 所以该几何体的体积为 所以选 C 【点睛】本题考查了三视图的应用,空间几何体的体积计算,属于基础题。 5.若变量 A. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据线性约束条件作出可行域,将线性目标函数化为直线方程,根据目标函数*移得到最优解,再将最优解 代入目标函数即可得答案。 满足约束条件 B. ,则 C. 的最小值为( ) D.

【详解】因为约束条件

,作出可行域如下图所示

目标函数 由图可知,当直线

可化为函数 过 时,

直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为 1. 所以选 A 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数最值的求法,属于基础题。 6.某小区有排成一排的 个车位,现有 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩下的 个车位连在一起,那么 不同的停放方法的种数为( A. 【答案】B 【解析】 【分析】 分类讨论剩余 4 个车位连在一起的排列方法数即可。 【详解】首先安排三辆车的位置,假设车位是从左到右一共 7 个, 当三辆车都在最左边时,有车之间的一个排列 , 当左边两辆,最右边一辆时,有车之间的一个排列 , B. ) C. D.

当左边一辆,最右边两辆时,有车之间的一个排列 , 当最右边三辆时,有车之间的一个排列 , 总上可知,共有不同的排列法 所以选 B 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用,注意分类时候做到不重不漏,属于中档题。 7.已知函数 f(x)= 则下列结论正确的是( ) 种结果.

A. f(x)是偶函数 B. f(x)是增函数 C. f(x)是周期函数 D. f(x)的值域为[-1,+∞) 【答案】D 【解析】 试题分析:作出函数 的草图:

知:A、B、C均不对,只有D正确;故选D. 考点:分段函数的图象. 8.如图是将二进制 化为十进制数的程序框图,则判断框内填入的条件是( )

A. 【答案】A 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

根据二进制位数,需要循环 5 次。每次增加 1,则根据选项即可判断出退出时的条件。 【详解】根据循环体即二进制位数,可知循环体要重复执行 5 次 i 的初始值为 1,每次循环增加 1,所以最后为 5 即当 时,继续循环,当 时退出循环

所以选 A 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构,根据循环次数确定判断的条件,属于中档题。 9.已知双曲线 的离心率为 ,焦点为 ,点 在 上,若 ,则 ( )

A. 【答案】C 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

根据双曲线定义,可用 a 表示出 得 的值。



,再由离心率用 a 表示 c,则在

中,应用余弦定理可求

【详解】双曲线 的焦点为 所以由定义可知 所以解得 与

,点 在 上 ,

因为双曲线 的离心率为 ,所以 则 中,由余弦定理可得

化简得 所以选 C 【点睛】本题考查了双曲线的定义与性质,余弦定理的简单应用,属于基础题。 10.已知 是 所在*面外一点, 分别是 的中点, 若 , 则异面直线 与

所成角的大小是( ) A. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AC,取中点 Q,连接 QM、QN,则∠QNM 即为异面直线 PA 与 MN 的夹角,根据数据关系即可求得 夹角大小。 【详解】根据题意,画出图形如下图所示 B. C. D.

连接 AC,取中点 Q,连接 QM、QN 则 则在 , 中,由余弦定理可得

所以 所以选 A 【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法,三角形中位线定理及余弦定理的应用,关键是通过*移得到 异面直线的夹角,属于中档题。 11.定义域为 的奇函数 则( ) A. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数 ,则根据 是奇函数且当 时, 恒成立得到 的单 B. C. D. ,当 时, 恒成立,若 , ,

调性与奇偶性,进而判断大小关系。 【详解】构造函数 因为 当 是奇函数,所以 时, 在 在 为偶函数 恒成立,即 时为单调递减函数 时为单调递增函数 ,所以

根据偶函数的对称性可知 , 所以

所以选 D 【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的综合应用,比较函数的大小关系,属于中档题。 12.如图,矩形 中边 的长为 , 边的长为 ,矩形 的最大值为( ) 位于第一象限,且顶点 分别位于 轴、 轴

的正半轴上(含原点)滑动,则

A. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ,

B.

C.

D.

,利用

得出 a,b 之间的关系,用 a,b,θ 表示出 B,C 的坐标,代入数量

积公式运算得出关于 θ 的三角函数,利用三角函数的性质求出最大值. 【详解】如图,设 ,

则 因为 所以 则

所以 所以选 B

的最大值为

【点睛】本题考查了*面向量的数量积运算,通过建立坐标系求解是常用方法,属于难题。

二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分.
13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿*惶娉鱿郑斓瞥中奔湮 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为__________. 【答案】 . 【解析】 分析:由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合几何概型计算公式可知,至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率: . 点睛:解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范 围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算,即当半径一定时,由于弧长之 比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比. 14.在 【答案】 【解析】 中,已知 ,当 时, 的面积为________.



得,



所以, 考点:*面向量的数量积、模,三角形的面积. 【此处有视频,请去附件查看】

.

15.设等比数列 【答案】 【解析】

的前 项和是 ,若

,则

__________.

设公比为 q(q≠0),由题意知 q≠-1,根据等比数列前 n 项和的性质,得 =
3 即 q =2.

=1+q3=3,

于是 =



= .

16.已知点

,抛物线

的焦点为 ,连接

,与抛物线 相交于点 ,延长

,与抛物线 的

准线相交于点 ,若 【答案】 【解析】 依题意可得焦点 的坐标为

,则实数 的值为__________.



设 在抛物线的准线上的射影为 ,连接 由抛物线的定义可知





,解得 点睛: 本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用, 考查了学生数形结合思想和转化与化归 思想,设出点 在抛物线的准线上的射影为 ,由抛物线的定义可知 ,然后利用斜率得到关于 的方程,进而求解实数 的值 ,再根据题设得到

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设 的内角 所对边的长分别是 (Ⅱ)求 (2) ,且 的值. .

(Ⅰ)求 的值; 【答案】 (1) 【解析】

试题分析: (1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出 现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公式变 形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;(2)在三角兴中,注意隐含条件 决三角形问题时,根据边角关系灵活的选用定理和公式. 试题解析:因为 由余弦定理得 ,所以 , 3分 , 1分 (3)解

所以由正弦定理可得 因为 , ,所以 ,即

.5分 .6分 .8分 . 10 分

(2)解:由余弦定理得 因为 故 . 13 分 考点:正弦定理和余弦定理的应用。 【此处有视频,请去附件查看】 ,所以

18.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图 2?3?1 所示.

图 2?3?1

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E(X)及方差 D(X). 【答案】(1)0.108.(2) 见解析. 【解析】 试题分析: (1)设 表示事件“日销售量不低于 100 个”, 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事 件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此 可求出 , ,利用事件的独立性即可求出 ; (2)由题意可知 X~B(3,0.6),所以即可

列出分布列,求出期望为 E(X)和方差 D(X)的值. (1)设 表示事件“日销售量不低于 100 个”, 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事件“在未 来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此

. . . (2)X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为 , , , , 分布列为 X 0 1 2 3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望为 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72 考点:1.频率分布直方图;2.二项分布. 【此处有视频,请去附件查看】

19.如图,

是半圆 的直径, 是半圆 上除 , 。

外的一个动点,

垂直于半圆 所在的*面,



证明:*面

*面

; 的余弦值.

当 点为半圆的中点时,求二面角 【答案】 (1)见解析(2) 【解析】 【分析】 根据圆的性质可知 *面 (2)根据 标系,求得 和 *面 。 ,可得

,根据线面垂直得到

,从而 B

.

,所以可证

,以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CD 为 z 轴,建立空间直角坐 的法向量,进而得出二面角的余弦值即可。

【详解】 (1)证明:

是直径,

*面

*面 , 是*行四边形,

*面 *面 *面 *面 如图所示,建立空间直角坐标系,

(2)依题意, 则

设面

的法向量为 即

设*面

的法向量为 即

, ,

二面角是 二面角

钝角*面角, 的余弦值为

【点睛】本题考查了空间中直线与*面的位置关系,*面垂直的判定,空间向量在立体几何中的用法等,考 查了空间想象能力和计算能力,属于中档题。 20.已知椭圆 求椭圆方程; 设不过原点 的直线 ,试问:当 变化时, 由. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)求椭圆的标准方程,就是要确定 的值,只要找到两个关于 , 的等式即可,本题中一个 ; (2) ,证明过程详见解析. 与该椭圆交于 两点,直线 的斜率依次 ,满足 的离心率为 ,且过点

是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理

离心率,一个是椭圆过已知点,由此可得; (2)设交点

,把直线方程与椭圆方程联立方程

组,消去 后,可得 入可得结论.

,计算

,化简后并把



试题解析: (1)依题意可得

解得

.

所以椭圆 的方程是

.

(2)当 变化时,

为定值,证明如下:



得,

. (*) , ,

设 ∵直线 ∴



,则 的斜率依次为 ,且 ,得 ,



将(*)代入得: 经检验满足

考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查解析几何中的定值问题,采用“设而不求”方法求解,即设交点为 把直线方程与椭圆方程联立方程组后消元得 的一元二次方程,从而得 代入,由等式 21.设函数 求函数 当 的单调区间; 时,讨论函数 与 图像的交点个数. , 单调递减区间是 ; (2) . ,然后计算 ,把 ,

求得 ,如果能求出,说明定值存在,如果不能求出,说明定值不存在. , .

【答案】 (1)单调递增区间是 【解析】 试题分析: (1)数

的定义域为

,求得

,即可求解函数的单调区间; (2)令 的零点个数,利用函数 的性质,即

,转化为求函数 可求解函数 与 图象的交点个数. 的定义域为 ,函数 函数 单调递减,

试题解析: (1)函数 当 当 时, 时,



单调递增, , 单调递减区间是 . 的零点个数,

综上,函数 (2)令

的单调递增区间是

,问题等价于求函数 ,当 时, ,函数 为减函数,

注意到 当 时, 在 或 和 时,

,所以

有唯一零点; 时, ,

所以函数 注意到 综上,函数

上单调递减,在

上单调递增, ,所以 有唯一零点.

有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.

考点:函数的综合问题. 【方法点晴】 本题主要考查了函数的综合问题, 其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及求解单调区 间、利用导数研究函数的极值与最值,函数的图象等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问 题的能力,以及转化思想和分类讨论思想的应用,试题有一定的综合性,属于中档试题,本题的解答中把问 题等价于求函数 的零点个数,合理利用函数 性质是解答的关键.

22.已知直线

(为参数) ,曲线

( 为参数).

设与 相交于

两点,求

; 倍, 得到曲线 , 设点 是曲线 上

若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍, 纵坐标压缩为原来的 的一个动点,求它到直线的距离的最小值. 【答案】 (1)1; (2) 【解析】 .

试题分析: (1)由圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系即可; (2)伸缩变换后圆变为椭圆,设出椭圆的参数方程,利用点到直线的距离公式结合三角函数的 性质整理计算即可求得最终结果. 试题解析:
(I) 所以直线与曲线相离.

(II)变化后的曲线方程是

设点

则点到直线的距离是 故点 到直线的距离的最小值为

点睛:判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法; 若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.涉及参数方程和极坐标 方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合 题目本身特点,确定选择何种方程.
23.设 (1)解不等式 ; ,试求实数 的取值范围. .

(2)若存在实数 满足

【答案】 (Ⅰ){ , ]. (Ⅱ) (-∞,-2)∪[ ,+∞) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用零点分段讨论即可. (Ⅱ)画出函数 【详解】(Ⅰ) 作函数 不等式 的图象,它与直线 的解集为 . 的图像,考虑其与动直线 , 交点的横坐标为 和 ,由图象知 关系可得实数 的取值范围.

(Ⅱ)函数 当且仅当函数

的图象是过点 与直线

的直线. 有公共点时,存在题设的 . .

由图象知, 取值范围为

【点睛】绝对值不等式的基本解法是零点分段讨论法,也可以利用绝对值的几何意义来解不等式.不等式

有解问题,在 像的下方).

的图像清楚的情况下可用图像的位置关系来讨论(

有部分图像在




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